附录一可以亲手核对的签

正方形上的十二张签

这是第八章“挑一个特殊顶点”的抽法列出的全部签。四个顶点依次不许出现甲、乙、丙、丁。先等机会挑特殊顶点 $J$，其余三个顶点写 $J$ 对应的回答，$J$ 自己从另外三种里等机会挑一个。一共十二张签，每张的机会都是 $\frac{1}{12}$。

可以这样检查：

1. 看顶点 $1$ 这一栏：没有甲，乙、丙、丁各出现四次，各占 $\frac{1}{3}$。其余三栏也一样，正好是逐一缺失的四张表。
2. 看正方形的四条边：顶点 $1$ 和 $2$、$2$ 和 $3$、$3$ 和 $4$、$4$ 和 $1$。每一对栏都恰好有六张签不同，所以每条边不同的机会都是 $\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
3. 每张签上只有特殊顶点和别人不同，所以正方形上恰好有两条边不同。
4. 如果再连上两条对角线，变成 $K_4$，每一对栏仍然恰好有六张签不同，所以这种抽法在 $K_4$ 上也是 $\frac{3}{2}$ 倍。

三个顶点、两种回答的四张签

这是第十七章混合三个“分组”角得到的签，每张机会 $\frac{1}{4}$。

三栏回答 $1$ 的机会分别是 $\frac{1}{4}$、$\frac{1}{2}$、$\frac{3}{4}$。第一、二栏只在签三上不同，机会 $\frac{1}{4}$；第二、三栏只在签四上不同，机会 $\frac{1}{4}$；第一、三栏在签三、签四上不同，机会 $\frac{1}{2}$。三个数都正好等于对应两张表的全变差距离。这里只有两种回答，所以第二十三章的“共同门槛”也能做到同样的效果。

几道小练习

1. 求“甲 $\frac{1}{3}$、乙 $\frac{1}{3}$、丙 $\frac{1}{3}$”和“甲 $\frac{1}{2}$、乙 $\frac{1}{2}$、丙 $0$”的全变差距离。
2. 六边形 $C_6$ 的耦合常数是多少？
3. 一张仙人掌图由一个正方形和两个三角形组成，它们在割点上相接。它的耦合常数是多少？
4. 四条记录的删除超立方体 $Q_4$，耦合常数至少是多少？
5. 三角形三条边的距离分别是 $\frac{1}{10}$、$\frac{2}{10}$、$\frac{2}{10}$。按第十一章的平衡式，三条边被拿掉的机会各是多少？倍数是多少？

答案：

1. 差的绝对值是 $\frac{1}{6}$、$\frac{1}{6}$、$\frac{1}{3}$，加起来 $\frac{2}{3}$，除以 $2$ 得 $\frac{1}{3}$。
2. $2-\frac{2}{6}=\frac{5}{3}$。
3. 最长的圈有 $4$ 个顶点，常数是 $\frac{3}{2}$。
4. $2-\frac{2}{16}=\frac{15}{8}$。
5. $D=\frac{1}{2}$。短边的 $\frac{d}{D-2d}=\frac{1/10}{3/10}=\frac{1}{3}$，两条长边各是 $\frac{2/10}{1/10}=2$，所以 $S=\frac{1}{3}+4=\frac{13}{3}$。短边被拿掉的机会是 $\frac{1}{13}$，两条长边各是 $\frac{6}{13}$。三条边的倍数都不超过 $1+\frac{3}{13}=\frac{16}{13}$。