第二十五章回到那条被撤回的记忆

回到那个周六。助手记着两条：“周六要去看电影”和“不喜欢太吵的地方”。两条都能删，先删哪条随你，四种情况排成第七章那个正方形。

助手手里有一张早就写好的答案单，和瀚林在第七章举起来的那张一样：

你删掉了电影那一条。助手没有重新抽签，它去读“只剩怕吵”那一栏：公园。你接着把“怕吵”也删了，它读“两条都删”那一栏，还是公园。要是你先删“怕吵”、后删电影，中途读到的是电影院，最后停在同一栏，也是公园。

这张签上，删电影那一步换了地方，别的签上不一定换。两条都在时，十张签里电影院 $5$ 张；只剩怕吵时，电影院只有 $2$ 张（第六章），所以换地方的机会至少是 $\frac{3}{10}$。只安排这一步，可以正好只换这么多；四种删除一起照顾，这一步最多再多付一半。

我们证明了什么

我们证明的结论是，如果每一种保留情况下的输出分布都已经给定，而且我们要求所有情况在同一次抽签里一起安排，那么图的形状会限制各条边同时接近各自最好成绩的程度。

具体地说：

• 没有圈的图（树和森林），所有边都能同时做到最好，倍数是 $1$；
• 一个 $n$ 个顶点的圈，躲不开的倍数恰好是 $2-\frac{2}{n}$；
• 只在割点上相连的几块，由最难的那一块决定；
• 任何一张固定的图，最坏情况都能归结到一张有限的清单上，耦合常数是一个可以精确算出的分数，而且严格小于 $2$；
• 四个顶点以内的图，常数全部求出：$1$、$\frac{4}{3}$ 或 $\frac{3}{2}$；
• 删除超立方体的常数，至少是 $2-\frac{2}{2^d}$，又小于 $2$；
• 如果每个顶点只能看到自己的表，而规则要事先定好、对任意多种回答都适用，最好的倍数就是 $2$。

把这几个数放回周末的小世界：

它能说明什么，不能说明什么

它说明了两件事。一是只要求删掉以后分布正确，还不够。删完重新抽一次签，哪怕删的是一条和周六毫不相干的记录，回答也可能白白变掉（第五章），所以删前删后要读同一张签。二是读同一张签以后，多付的代价有上限，就是上面那张表里的数。

它说明不了的有五条。前四条，论文的引言和最后一节都写到了；第五条论文没有展开，我们也想记在这里。

1. 每种情况下的分布被当作已经知道。真实的系统要重新运行去估计，有误差时保证会打多少折扣，定理里读不出来。
2. 回答要事先分成几类。分得太粗，会掩盖类别里重要的变化；分得太细，意思一样的两句话也算“变了”。
3. 只算回答变没变，不算变了多少。换一种说法和改掉一条建议，算起来一样。
4. 保证针对事先指定的每一种删除，对抽签取平均。先看到回答再挑最不利的删除，是另一个问题。
5. 两栏读到同一个去处，不说明被删的记录已经从机器的缓存、参数或日志里消失。答案单要一直存着（第十四章），可上面只写去处，不写记录的内容；真正的“遗忘”要另外定义、另外取证。

周末的小世界和签盒里的数，都是我们设想的；论文的计算用的也全是自己设定的分布，没有做过访谈、问卷，也没有在真实的对话系统上做过实验。隐私、情感、成本和产品性能，这些结论都管不到。

还没走完的路

第七章末尾问过：三条记录、先删哪条随你，最坏要付几倍？第二十二章答了一半，至少 $\frac{7}{4}$，又小于 $2$。准确的数还空着。

五个顶点以上的完全图，准确的常数也还不知道。如果各个顶点的分布有某种共同的结构，什么时候所有边能同时做到最好？只有两种回答时，共同门槛已经给出了答案；回答更多时，这个问题还开着。

如果每种情况除了自己的签盒，还能收到一些事先算好、大家共享的信息，要多少信息才能做到集中式的效果？论文把它留成了一个进一步的问题。

带走的东西

AI 说一句“正确”，我们还是要自己证一遍；电脑屏幕上显示 $1.5$，也要确认它就是 $\frac{3}{2}$。

会叫“家克”的人，在意的是它还记不记得。一个助手应该记住什么、忘掉什么，我们回答不了。我们只研究了一个小一些、能说清楚的问题：删掉一条记忆以后，怎样让不必改变的尽量不变，以及为什么有时候一定会变。

读到这里，你可以拿一张纸画一个正方形，在四个顶点上写好祺乐出的那四个签盒，指着它向别人解释：为什么每条边单独都能做到最好，合在一起却做不到。