附录二停下来算一算的答案

正文里每道“停下来算一算”的答案，按章排列。先自己算一算，再来对答案。

第四章

电影院 $\frac{1}{2}$ ，公园 $\frac{3}{8}$ ，图书馆 $\frac{1}{8}$ ，游乐场 $0$ 。几个数加起来是 $1$ 。

第六章

差的绝对值是 $\frac{1}{2}$ 、 $0$ 、 $\frac{1}{2}$ ，加起来是 $1$ ，除以 $2$ 得 $\frac{1}{2}$ 。第五章那张两行的签让两栏不同的机会正好是 $\frac{1}{2}$ ，已经是最大耦合。

第九章

最多是 $\frac{3}{2} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{10}$ ，也就是 $30%$ 。

$Y$ 抽到甲（ $\frac{1}{2}$ ）时， $X$ 只能写甲， $Z$ 等机会写乙或丙； $Y$ 抽到乙（ $\frac{1}{4}$ ）时， $X$ 、 $Z$ 都写乙； $Y$ 抽到丙（ $\frac{1}{4}$ ）时， $X$ 写乙， $Z$ 写丙。四种三栏签（按 $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ 的顺序）是“甲甲乙”“甲甲丙”“乙乙乙”“乙丙丙”，各占 $\frac{1}{4}$ 。 $X Y$ 只在“乙丙丙”上不同，是 $\frac{1}{4}$ ； $Y Z$ 在前两种上不同，是 $\frac{1}{2}$ 。两个数正好是两条边的全变差距离。

第十一章

$D = \frac{3}{5}$ ，每条边的 $\frac{d _{e}}{D - 2 d _{e}} = \frac{1/5}{1/5} = 1$ ，所以 $S = 3$ 。每条边被拿掉的机会是 $\frac{1}{3}$ ，倍数是 $1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ 。距离都相等时，平衡式就退回到均匀拿掉。

第十二章

七边形是 $2 - \frac{2}{7} = \frac{12}{7}$ ，八边形是 $2 - \frac{2}{8} = \frac{7}{4}$ 。要 $2 - \frac{2}{n} > \frac{19}{10}$ ，就要 $\frac{2}{n} < \frac{1}{10}$ ，也就是 $n > 20$ 。二十边形正好是 $2 - \frac{2}{20} = \frac{19}{10}$ ，还没超过；二十一边形是 $\frac{40}{21}$ ，大约 $1.905$ ，所以至少要 $21$ 条边。

第十三章

最长的圈是六边形，常数是 $2 - \frac{2}{6} = \frac{5}{3}$ 。换成路以后，最长的圈是正方形，常数是 $\frac{3}{2}$ ；路和桥都是树的部分，常数是 $1$ ，不影响最大值。

第十四章

电影院→电影院： $\frac{5}{10} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{10}$ 。电影院→公园： $\frac{5}{10} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{10}$ 。电影院→图书馆： $\frac{5}{10} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{10}$ 。再加上公园→公园 $\frac{3}{10}$ 、图书馆→图书馆 $\frac{2}{10}$ ，五格和第六章那张签表一模一样。不照抄的机会是 $\frac{5}{10} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10}$ ，正好是全变差距离。

第十五章

${1}$ 、 ${2}$ 、 ${3}$ 、 ${1, 2}$ 、 ${1, 3}$ 、 ${2, 3}$ 、 ${1, 2, 3}$ 。
${2, 3, 4}$ 、 ${1, 2, 4}$ 、 ${1, 2, 3}$ ，各 $\frac{1}{3}$ ，加起来正好是 $1$ 。
只有 ${1, 2, 4}$ 。顶点 $1$ 和 $3$ 原来的两张表只在甲和丙上不同，各差 $\frac{1}{3}$ ，全变差距离是 $\frac{1}{3}$ ，两个数一样大，第十八章会说明为什么。

第十六章

回答 $1$ 的柱高是 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{2}$ ：最底下 $\frac{1}{4}$ 属于 ${1, 2, 3}$ ，再往上 $\frac{1}{4}$ 属于 ${1, 3}$ 。回答 $0$ 的柱高是 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{3}{4}$ 、 $\frac{1}{2}$ ：最底下 $\frac{1}{2}$ 属于 ${1, 2, 3}$ ，再往上 $\frac{1}{4}$ 属于 ${2}$ 。合起来， ${1, 2, 3}$ 是 $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ ， ${1, 3}$ 是 $\frac{1}{4}$ ， ${2}$ 是 $\frac{1}{4}$ 。
顶点 $1$ ： $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$ ；顶点 $2$ ： $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$ ；顶点 $3$ ： $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$ 。
是。顶点 $1$ 和 $3$ 拥有的集合完全一样，都是 ${1, 2, 3}$ 和 ${1, 3}$ ，没有任何差别。顺便可以验证，顶点 $1$ 和 $2$ 原来的距离是 $\frac{1}{4}$ ，切层以后差在 ${1, 3}$ 和 ${2}$ 上， $(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) \div 2$ ，还是 $\frac{1}{4}$ 。

第十七章

以 $\frac{3}{4}$ 的机会选“三人一组”，以 $\frac{1}{4}$ 的机会选“ ${2}$ 单独、 ${1, 3}$ 一组”。
选中三人一组时，三个顶点一起看同一张签，回答 $1$ 的机会占 $\frac{1}{3}$ ，所以 $111$ 的机会是 $\frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$ ， $000$ 的机会是 $\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$ 。选中 ${2} {1, 3}$ 时， ${1, 3}$ 全部来自回答 $1$ ， ${2}$ 全部来自回答 $0$ ，得到 $101$ ，机会 $\frac{1}{4}$ 。核对：顶点 $1$ 、 $3$ 回答 $1$ 的机会都是 $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ ，顶点 $2$ 是 $\frac{1}{4}$ ；顶点 $1$ 、 $3$ 永远相同，顶点 $1$ 、 $2$ 只在 $101$ 上不同，机会 $\frac{1}{4}$ ，正好是它们的距离。

第十八章

${1, 2, 3, 4}$ 是 $\frac{4}{5}$ ，四个三人组各是 $\frac{1}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{15}$ 。每个顶点： $\frac{4}{5} + 3 \times \frac{1}{15} = 1$ 。
含 $1$ 不含 $2$ 的只有 ${1, 3, 4}$ ，是 $\frac{1}{15}$ ；按比例平均是 $\frac{4}{5} \times 0 + \frac{1}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{15}$ ，一样。
$\frac{4}{5} \times 0 + \frac{1}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{10}$ ， $\frac{1}{10} \div \frac{1}{15} = \frac{3}{2}$ 。这正是第十二章在正方形上算过的那组数：距离 $\frac{1}{15}$ ，不同的机会 $\frac{1}{10}$ 。那一章的表切层以后，就是这两个角的混合。

第十九章

四个顶点各给一个方程：

$y + z + w = 1, x + z + w = 1, x + y + w = 1, x + y + z = 1.$

四式相加得 $3 (x + y + z + w) = 4$ ，所以 $x + y + z + w = \frac{4}{3}$ ，再减去每一个方程，得到 $x = y = z = w = \frac{1}{3}$ 。分母是 $3$ 。
任意两个顶点之间，含一个、不含另一个的三人组只有一组，距离是 $\frac{1}{3}$ 。 $\frac{2}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}$ 。

第二十章

六个 $\frac{1}{12}$ 、三个 $\frac{1}{6}$ ， $6 \times \frac{1}{12} + 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ 。
签一、二、三， $\frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ 。
签一到签四两端不同，签五到签九两端相同， $\frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ ，是 $\frac{1}{3}$ 的 $\frac{3}{2}$ 倍。瀚林抄下来的这张签表只有九种签，和第八章“挑特殊顶点”的十二种不一样，可另外三条边算出来也都是 $\frac{1}{2}$ 。做到 $\frac{3}{2}$ 的签表不止一张。

第二十一章

$22 + 12 + 7 + 1 = 42$ 。要代的签一共是 $22 \times 4^{4} + 12 \times 3^{4} + 7 \times 2^{4} + 1 \times 1^{4} = 5632 + 972 + 112 + 1 = 6717$ 种，和检查程序报告的数一样。

第二十二章

$N = 4$ ， $M = 3$ 。剪断任何一条边，这一排就断开了，所以 $κ = 1$ 。下界是 $\frac{1 \times 3}{3} = 1$ ，正好是第十章说的按顺序删时的倍数。
$N = 4$ ， $M = 6$ 。每个顶点连着另外三个，把一个顶点单独切下来要剪 $3$ 条，用更少的剪不开，所以 $κ = 3$ 。下界是 $\frac{3 \times 3}{6} = \frac{3}{2}$ ，正好是第十九章求出的 $c (K_{4})$ 。

第二十三章

门槛不小于 $\frac{3}{10}$ 的是顶点 $2$ （ $\frac{4}{10}$ ）和顶点 $4$ （ $\frac{5}{10}$ ），它们回答 $1$ ；顶点 $1$ 、 $3$ 回答 $0$ 。沿着圈走，回答是 $0$ 、 $1$ 、 $0$ 、 $1$ ，四条边两端全都不同。
$U$ 落在 $\frac{1}{10}$ 和 $\frac{4}{10}$ 之间时才不同，机会是 $\frac{3}{10}$ ，正好是这条边的距离。 $U$ 点在 $\frac{3}{10}$ 时四条边一起不同，换一个点就不一定了；平均下来，每条边不同的机会都只是它自己的距离。

第二十五章

$\frac{3}{2} \times \frac{3}{10} = \frac{9}{20}$ ，也就是 $45%$ 。只安排这一步时是 $\frac{3}{10}$ ，也就是 $30%$ 。