第二十四章写给没参加讨论的人

主要结果都有了着落以后，我们开始把它们写成论文。

读者手里只有这篇论文

一开始我们写得很顺，因为每一句话背后的来龙去脉，我们都清楚。

初稿交给李老师，拿回来的时候，页边多了好几个红圈。第一页上“家克”两个字被圈住，旁边写着：“评委知道这是什么吗？”往后翻，“顺序无关”也被圈了。

评委没有参加过我们的讨论，不知道“家克”是什么，也不知道我们为什么要考虑随机性、“顺序无关”这个要求从哪里来。这个比赛没有统一的题目，各人做各人的问题，评委手里只有这篇论文。

有的问题是红圈指出来的，有的是我们越写越发现的。于是我们回头一项项检查：

• 每个术语第一次出现时，有没有说清它是什么意思？
• 每一个建模的选择，比如只看有限个状态、要求共享随机源、用全变差距离当基准，有没有说明为什么这样选、适用到哪里？
• 抽象的定义旁边，有没有一个可以手算的小例子？
• 别人想复核我们的计算，需要的输入在不在论文里？

按照这些问题，我们在引言里补回了“家克”的来历，把它和记忆、删除、随机性之间的联系一步步写清楚；在正文里加了四个顶点的例子；在附录里列出了全部十二个检验例子的完整输入；把计算程序、输入和证书整理成随附材料，并写了复核说明。

复核说明写好以后，瀚林新建了一个空文件夹，只往里放说明里列出的那几样东西。“跑一下，”瀚林说，“看照着说明能不能跑出来。”

韵吉统稿时专门查用词，碰到两节里的两个说法，就在页边问一句：“这是一个东西吗？”是一个东西，就只留一个名字。

把网页换成文献

论文的引言和文献综述里，我们原来引了新浪网（一个新闻门户网站）上讨论这类现象的网页链接。参考文献那一页，李老师在页脚写了一行字：这样太不规范，要全部换成正式出版的学术文献；前人的工作，也要把“哪些是前人的、哪些是我们的”界定清楚。

这件事让我们沿着文献，把整条路重新查了一遍。结果让我们有点沮丧，因为一路用到的许多工具，早就有人研究过了：两个分布的最大耦合，逐一缺失的那组表，计时器赛跑，沿着树一条边一条边接起来的做法，还有第十七章的那个容器。它们分别出自谁的工作、书里哪一章用到，列在附录四。

查到 Li 和 Anantharam 的那篇论文时，我们发现，祺乐推出的那种平衡的删边权重，在这两位作者的一个命题里已经以同样的形式出现过，只是那里处理的是“回答和回答之间的远近只取在三个点上”的特殊情形。

第二天课间，祺乐把那篇论文的命题和自己的草稿并排放着，一个符号一个符号地对。

“你看，分母一样。”

比例也一样。祺乐在自己那页的标题“平衡式”后面，用铅笔加了个括号，写上两位作者的名字。

论文里也是这样写的：圈上的证明沿用了这两位作者的树上拼接和平衡的算法，我们做的是把它推广到任意长度、任意距离的圈。第十二章的下界，也可以从那篇论文的一个证明里直接得到。

一个“四”字，两个问题

查文献时还有一件事要分清。

Li 和 Anantharam 的论文里留下了一个问题：固定四种回答，要为这四种回答上的所有分布，构造一个同时适用的共同耦合，最好能做到多少？

我们证明了 $c(K_4)=\frac{3}{2}$，这里固定的是四个分布：每次给定四张表，再为它们设计共同的安排。两个“四”，一个是回答的种类，一个是表的个数，是两个不同的问题。如果把它们混为一谈，就会误以为自己解决了一个别人留下的公开问题。

同样，有些研究里说的“局部”，指的是图上的邻居关系和远处的独立性；我们说的“只看自己的表”，允许大家共享任意多的随机性，限制的只是能读到哪些表。

我们自己的部分

工具大多是前人的。我们新做的，是用这些工具回答自己的问题：删记录的方式不同，最坏要多付多少。说得准确些，一张固定的图规定了哪些情况要一起协调，每一种删除变化的机会，相对于它自己的全变差距离，最坏要放大多少倍。中间有几步是我们自己证明的，比如切层不改变任何一条边的距离，以及由此把最坏情况收进一张有限的清单；前人的工具到哪里为止、我们的从哪里开始，附录四逐条写了。得到的结论，留到第二十五章一起列出来。我们不能说“首次提出了多个分布的共同耦合”，所以论文里把前人的结果和我们新做的分开写，没解决的问题也写明了。

实话实说

写致谢的时候，我们要把整个研究里谁做了什么写清楚。各人负责哪些专题，《写在前面》已经说过，前面各章也讲到了。致谢里还写明了论文的每一节归谁：韵吉承担前两节和全文统稿，祺乐承担第三、四节，第五节“只看自己的表”两人共同负责，瀚林承担第六节和附录 A，还整理了检验例子的输入和随附的计算材料。文献三个人按专题分头整理，摘要和讨论部分一起审读。

李老师是我们学校的数学老师，也是我们三个人的任课老师。指导完全是无偿的，主要包括讨论研究方向、指导理论和计算、指导论文写作、审阅材料，对研究的范围、数学表述、文献的归属和结果的解释提出修改意见。

李老师特别强调过：按比赛的规则，致谢要把师生关系、具体分工和 AI 的使用情况都写详尽，前后要自洽。关于 AI，我们在 2026 年 8 月到 9 月之间，分阶段反复使用了 Codex 里的 OpenAI 模型 GPT-5.6 Sol 与 GPT-6 Astra，按任务阶段切换。除此以外没有使用别的 AI。AI 参与了问题的表述、文献检索、证明推导、程序实现、计算核验、段落拟稿和正文修订。我们三个人按分工审阅、取舍和核查采用的内容。理论结果以论文里的数学论证为依据，数值结果用附带的程序、输入和精确证书来核验。

AI 帮我们查到过很多文献，也提过思路、写过草稿，可它也会出错，出错时照样说“完全正确”。所以每一步我们都要自己弄懂，再找一个具体的例子检验。

交上去

论文定稿以后，查重报告出来了，诚信声明和指导老师信息表也都签好字、盖好章，和论文一起交了上去。提交页面跳出一行字，瀚林截了图，发到群里。过了一会儿，韵吉回了一句：“明天还要上课。”