附录四本书用到的前人工作
第二十四章说过，我们一路用到的许多工具，早就有人研究过。这里按题目列出来，每条后面注明正文哪几章用到。人名都能在论文的参考文献里找到，记不住没关系。
两个分布的最大耦合是概率论里的基础结果。（用到它的有第六章、第十四章。）
逐一缺失的那组表，并不是我们第一个想到的。Kleinberg 和 Tardos 研究“度量标记”问题时，给出过一种保持每个顶点边际分布的随机舍入方法，并用一个本质上相同的例子，说明各个约束之间无法同时满足。后来 Angel 和 Spinka、Li 和 Anantharam 的论文里，也都用到了它。（用到它的有第八章、第十二章、第二十二章、第二十三章。）
“对所有分布同时适用”的抽签方法也有前人。Charikar 在 2002 年的论文里，把分布画成一块块矩形的并来表示，给出了两个分布抽出不同结果的机会的上界，也就是第十九章用到的 。Angel 和 Spinka 系统地研究了很多个随机变量的同时耦合，证明了这个界，也研究了它的下界。第二十三章的“计时器赛跑”，就是这两位作者的论文里给出的一种耦合方法。（用到它的有第十九章、第二十三章。）
只能看到自己的分布时的抽样，叫“相关抽样”。Bavarian 等人专门研究过它能做到什么、做不到什么。（第二十三章）
两两之间的多边际最优传输是 Li 和 Anantharam 提出的问题：给很多个分布找一个共同的耦合，使每一对的代价相对它们单独最好的代价得到统一的控制。我们的完全图情形，正是这个大框架在“相同记 、不同记 ”这种代价下的一个特例。祺乐的平衡式，在这两位作者的一个命题里已经就一种特殊情形出现过，第十二章的下界也可以从那篇论文里的一个证明直接得到，经过见第二十四章。圈上的证明沿用了这两位作者的树上拼接和平衡的算法，我们做的是把它推广到任意长度、任意距离、包括零距离的圈，并证明了它在同类办法里是唯一最好的。那篇论文留下的“固定四种回答”的问题，和我们的 不是同一个问题，见第二十四章。（用到它的有第十一章、第十二章。）
沿着树把边一条条接起来的做法，在随机舍入的文献里是标准技巧，比如 Andrews 等人的工作。在等长的圈上均匀地删一条边，伸长的倍数是 ，这个结果在研究“用树来近似图”的文献里已经有了。（用到它们的有第十章、第十一章。）
我们的那个容器 ，统计学和博弈论里都有人研究过。在统计学里，Gill 和 Grünwald 研究一种叫“随机粗化”的机制，用到的正是同样的坐标、同样的条件；角可以混合出所有的点、角上最多 个正的坐标、角上的数都是分数，这些都是已知的性质，这两位作者甚至也用行列式来控制分母。在博弈论里，这个容器的角叫“极小平衡集合族”，Laplace Mermoud 等人研究过怎样把它们全部列出来。（用到它的有第十七章、第十九章、第二十一章。）
前人的工具到这里为止。只知道“角上最多 个正坐标”，还推不出“最坏情况在有限张清单上”。我们另外证明了三件事：切层能保持所有的全变差距离（第十六章），共享随机的映回不会增加任何一条边的不同机会，集合版的距离在混合时按比例平均（第十八章）。有了这三件事，才得到有限极值归约。