第五章共用一枚硬币

先看一种最简单的情况。假设助手还记着一条：“最喜欢蓝色。”你随手把它删了。这条和周六去哪儿毫无关系，删前删后，签盒一模一样。为了好算，再假设这个签盒很简单：助手只在公园和图书馆之间选，各占一半。

各占一半，一枚硬币就够了：正面去公园，反面去图书馆。

如果删前抛一次，删后再另抛一次，会怎样？四种组合机会相等：

我们真的试了。祺乐和韵吉各拿一枚硬币，一个算删前，一个算删后，同时抛，抛了二十次。记下来的“变了”将近一半。

瀚林说：“二十次太少，跑一下。”写了几行程序，让电脑抛一万次，屏幕上“变了”的比例在一半上下。

分布一点没变，回答却有一半的机会变了。把这些变化都算作“删除造成的扰动”，显然不公平，它们全是因为两次用了不同的硬币。

那就让两次共用一枚硬币：抛一次，正面两边都去公园，反面两边都去图书馆。单看删前，公园和图书馆仍各占一半；单看删后，也一样。可是两边永远相同。瀚林把程序改成两边读同一次的结果，再跑一万次，“变了”一次也没有出现。

每一边自己的分布没有动，仍然有两种可能。我们只规定了两边一起出现的时候怎样对应。

把几张给定的表放进同一次抽签，安排它们怎样一起出现，数学里叫作耦合。它只有一个要求：每一边单独看，还得和原来的表一模一样。后面所有的构造，都是从这个办法出发的。

分布不同的时候

再删电影那一条。这回换一个更简单的假设，不用标准签盒：删前，助手在电影院和公园之间选，各占一半；删后，电影院没了，那一半给了图书馆，公园照旧。

两边都可能出现的只有公园。

如果两边各抛一枚硬币、互不相干地抽，和上面一样列出所有组合：删前是电影院或公园，删后是公园或图书馆，一共四种。按“删前｜删后”的顺序写，是“电影院｜公园”“电影院｜图书馆”“公园｜公园”“公园｜图书馆”，机会都是 $\frac{1}{4}$。只有“公园｜公园”这一种两边相同，所以有 $\frac{3}{4}$ 的机会，回答变了。（两件互不相干的事同时发生的机会，等于各自机会相乘：$\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。列表数一数，得到的是同一个数。）

换一种安排。我们做一张“两栏的签”，每张签上同时写着删前和删后的去处，一共只有两种签，各占一半：

只看“删前”那一栏，电影院、公园各占一半，和原来的分布一样；只看“删后”那一栏，公园、图书馆各占一半，也一样。可是现在，只有第二种签上两栏不同，变化的机会从 $\frac{3}{4}$ 降到了 $\frac{1}{2}$。

还能更低吗？不能。两栏相同，只可能两栏都是公园；而每一栏是公园的机会都只有 $\frac{1}{2}$，所以两栏相同的机会最多 $\frac{1}{2}$，不同的机会至少 $\frac{1}{2}$。这张两行的签已经是最好的安排。

两个名字

这一章的做法里，还有两样东西有专门的名字。

“边际”这个词听上去有点玄，其实就是“遮住别的栏以后剩下的那一栏”。在一张写满数字的表格里，把每一行加起来写在表格边上，“边际”最早就是这个意思。

回到周末。删“最喜欢蓝色”的时候，助手只要删前删后读同一枚硬币，回答一次也不用换。删电影那一条的时候，电影院在新的签盒里是零，原来去电影院的那一半非换不可，这是第三章里的第一个要求；原来去公园的那一半，一个都不用动。所以对这一对签盒，助手最好也只能做到一半的机会换地方。